_ 2 ϵ On isole la variable et on simplifie la fraction. Pour un nombre premier p différent de 2 et 5. Il en est plus généralement de même pour tous les nombres décimaux sauf 0 : on a ainsi, par exemple, 3/5 = 0,6000000... = 0,5999999..., et là encore, seul le premier développement est retenu. Enfin, lorsqu'ils sont irrationnels, le développement décimal est illimité et non périodique. U 1)Soit le nombre x = 0,37373737373... dont la période 37 est constituée de deux chiffres. 2 Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. k a , seul sera retenu le premier développement illimité, le second s'appelant un développement impropre. La dernière modification de cette page a été faite le 28 mars 2021 à 21:25. {\displaystyle [0,1]} Keywords: nombre, rationnel, irrationnel, développement, décimal, racine carrée, 2, illimité, périodique Created Date: 7/29/2018 11:02:28 PM Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme où N est un entier relatif et n un entier naturel. Lorsque la fréquence d'apparition de chaque chiffre est de 10 % dans le développement décimal, et, plus généralement, lorsque la fréquence d'apparition d'une suite de n chiffres donnée est (pour chaque suite) de 10-n, on dit que le réel est un nombre normal. + 1 Selon la définition d'un développement décimal illimité sur Cela est vrai dans n'importe quelle base. où N est un entier relatif et n un entier naturel. On se débarrasse de la mantisse par une multiplication par la puissance de dix adéquate et par la soustraction d'un nombre entier. On se propose de vérifier sur quelques exemples le théorème admis : "Tout nombre admettant un développement décimal périodique est un rationnel." , Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. = Cette idée peut être généralisée en une démonstration formelle. Nous prenons conscience du fait qu'il ne s'agit que d'une écriture lorsque les circonstances nous mettent en contact avec d'autres systèmes de numération. Ceux-ci peuvent également être convertis en fractions. Régularité dans les développements décimaux illimités, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Développement_décimal&oldid=181342690, Article avec une section vide ou incomplète, Portail:Arithmétique et théorie des nombres/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, Si la suite ne converge pas vers 9, la suite (, Le réel dont le développement décimal est 0,1234567891011121314151617… possède un développement décimal prévisible non périodique. En utilisant la technique précédente, on obtient 10y = 9,99999... = 9 + y. Grâce à ses services d’accompagnement gratuits et stimulants, Alloprof engage les élèves et leurs parents dans la réussite éducative. On peut démontrer que tout nombre rationnel possède un développement décimal illimité périodique. [ 70 } ∑ , = Seuls des calculs poussés permettent de découvrir les premières décimales (on connaît jusqu'à présent les 1 241 100 000 000 premières décimales de π.). 0 La résolution de l'équation précédente prouve que y est rationnel et donc que x est rationnel. (dans le système décimal, un rationnel non décimal admet une représentation infinie et périodique) 50,6397 5/10 -6/32 6/40 7/8 -27/16 -0,5097635 36/24 (dans le système décimal, un décimal admet une représentation finie) -7 5 -45/5 18/9 Nombre rationnels décimaux : la partie décimale possède un nombre fini de chiffres. Réciproquement, si (an) est une suite d'entiers tels que tous les ak pour k = 1 à n sont des entiers compris dans {0, …, 9}, on démontre que la série Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. 0 ϵ 0 On obtient alors un nombre y s'écrivant 0,périodepériodepériode... sur lequel on effectue le même type d'opération que plus haut : multiplication par la puissance de 10 adéquate 10ny = période + y. ( vaut 0 ou 1, le nombre × = 3 Exemple : 31,01001000100001… Cas particulier important : les nombres écrits sous la formes a,999999…, a un nombre entier naturel − Si le développement décimal de x est fini ou (illimité et périodique), alors x est un nombre rationnel. Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de ’9’. Lorsque les nombres sont des entiers naturels, le développement décimal correspond à l'écriture en base dix. = où a0 est un entier relatif et où tous les ak pour k = 1 à n sont des entiers compris dans {0, …, 9}. Définition et Explications - En mathématiques, le développement décimal périodique d'un nombre rationnel est une écriture qui explicite la suite des décimales de ce nombre, en indiquant un bloc de chiffres qui se répète à l'infini. , les nombres rationnels restant caractérisés par la périodicité de leur développement. … Dans ce cas, 6,2 est non périodique et 15 est répétitif. On démontre que cette définition construit une bijection entre les réels et les suites (an) d'entiers tels que tous les ak pour k = 1 à n sont dans {0, …, 9} et la suite ne stationne pas à 9. 1 k Tout(Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) Un nombre décimal est... un nombre à virgule ... Il admet un développement décimal illimité non périodique 1,414213563... 1? Comprendre qu'un nombre est rationnel son développement décimal est périodique • seconde maths - YouTube. {\displaystyle [0,1]\times [0,1]} 10 Tout nombre entier possède une écriture décimale qui nous est naturelle car enseignée depuis notre enfance. a Aborder l'écriture décimale de la plupart des nombres rationnels nous fait entrer dans le monde de l'infini car l'écriture ne s'arrête jamais. 1267 Dans l'idée de convertir en forme décimale un nombre rationnel, représenté a priori sous forme de fraction de deux entiers, on peut poser une division. 1267 n 1 2 × On appelle pavage apériodique un pavage (non périodique) ne contenant pas de parties périodiques arbitrairement grandes (pour éviter des pavages non périodiques tels qu'un pavage périodique déformé en un nombre fini d'endroits, et qu'un pavage périodique déformé en un nombre infini d'endroits « isolés » (distribués « non uniformément »)). {\displaystyle {\frac {a}{2^{k}}}} , où 7 , est surjective (car tout nombre réel admet un développement en base 2). n {\displaystyle (\epsilon _{n})_{n\geq 1}} Définition et Explications - En mathématiques, le développement décimal périodique d'un nombre rationnel est une écriture qui explicite la suite des décimales de ce nombre, en indiquant un bloc de chiffres qui se répète à l'infini. Il ne peut s’é rire sous forme de fra tion. 0 Réciproquement, tout développement décimal illimité périodique correspond à l'écriture d'un rationnel. {\displaystyle {\sqrt {2}}} (dans le système décimal, un rationnel non décimal admet une représentation infinie et périodique) 50,6397 5/10 -6/32 6/40 7/8 -27/16 -0,5097635 36/24 (dans le système décimal, un décimal admet une représentation finie) -7 5 -45/5 18/9 Pour expliquer l'idée de la démonstration, prenons comme exemple  x = 4.5673673673673... = 4.5;on a     10 x = 45.    et   10000 x = 45673. b Cette méthode de décalage sera employée par la suite pour calculer de façon analogue la somme des termes d'une suite géométrique. − = Ce réel est la constante de Champernowne, du nom du mathématicien anglais qui l'a inventé en 1933. 13 ϵ Exemple : 6 et -6 sont opposés. Prenez par exemple en compte le nombre 6,21515. n . 1267 k x non décimal - l’écriture est infinie et non périodique lorsqu’il s’agit d’un nombre réel non rationnel(irrationnel) comme π ou 2 remarque : les nombres entiers ont une propriété particulière, ce sont les seuls nombres qui possèdent deux écriture à virgule :une écriture finie et une écriture Inversement, tout nombre décimal ou possédant un développement décimal périodique peut s'écrire sous forme de fraction. Tout ce qui précède s'applique à n'importe quel nombre entier b (comme base), supérieur à 1. ϵ Exemple : 3,25723723723... = x 100x = 325,723723723... 100x - 325 = y = 0,723723723... On peut remarquer que, si y est rationnel, x le sera aussi. associe le nombre a)Justifier que 100x = 37 + x ce que j'ai fait: x = 0,37373737373... 100x = 37,37373737373.. 2 Remarque : Un décimal est toujours rationnel, mais un rationnel n’est généralement pas un décimal. Théorème équivalent (contraposition du théorème précédent). Nombres ayant un développement décimal limité : 0,25; 2x103 Nombres dont le nombre de hiffres après la virgule est infini et périodique à partir d’un moment : 6/7; 8/3;.. Nombres dont le nombre de chiffres après la virgule est infini et non périodique : FRACTIONS ET NOMBRES DÉCIMAUX RETROUVER LE NOMBRE DÉCIMAL ∑ Par exemple, considérons le nombre rationnel 5/74 : Lorsqu'ils sont décimaux, on obtient un développement décimal limité. Exemple : 17,896 Nombres irrationnels : la partie décimale possède une infinité non périodique de chiffres. + n Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de décimales (en excluant une infinité de 9 que l'on remplace par l'unité suivante) Exemples 1,25 ou 3,0199999...=3,02 Un nombre rationnel est un nombre qui peut se mettre sous la forme m/n où m et n sont des entiers Exemples 2/3, 2007/3025 . ≥ Les différences entre une fraction commune et un nombre décimal sont les suivantes: 1- partie décimale. ϵ Sauf pour les décimaux et les rationnels dont le développement illimité est périodique, il n'est en général pas possible de « prévoir » les décimales d'un réel. ≥ Comparer des nombres réels Ordre et opposé a + -a = 0 Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0. )entier possède une écriture décimale qui nous est naturelle car enseignée depuis notre enfance. Nous prenons conscience du fait qu'il ne s'agit que d'une écriture lorsque les circonstances nous mettent en contact avec d'autres systèmes de numération. Exemple: Lenombre pi : qu'on arrondi à3,1416 dans les calculs. 2 1 n n , Lorsqu'ils sont rationnels, on obtient soit, encore, un développement décimal limité, soit un développement décimal illimité, mais alors nécessairement périodique. × {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\epsilon _{n}}{3^{n}}}} {\displaystyle (\epsilon _{n})_{n\geq 1}} (remarquez que le point décimal est placé immédiatement devant une période et que les deux nombres ont des parties décimales identiques) d'où, Mathématiques dans la culture générale. ce qui montre que x est rationnel.Cette méthode peut être généralisée en une démonstration formelle. Cas du nombre décimal. 16 {\displaystyle d:\{0,1\}^{\mathbb {N} ^{*}}\rightarrow [0,1]} Pour expliquer l'idée de la démonstration, prenons un exemple: x = 84.537; on a donc   , ce qui montre que x est rationnel. _ Voici les premières décimales du nombre « racine carrée de 2 Â» : 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 738... En utilisant un résultat établi antérieurement : √2 est irrationnel, on peut déduire du théorème suivant que le développement décimal de √2 est illimité et non périodique. ∞ 2 , Définitions. Chaque nombre décimal récurrent, étant une représentation particulière d'un nombre rationnel, il peut être représenté par une fraction. a = L’ensemble des nombres décimaux se note D. On a donc D= p 10n, (p,n)∈ Z×N . {\displaystyle {\frac {a}{b^{k}}}} 4 a En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de dix (d'exposant positif ou négatif). La méthode se généralise pour tout développement décimal illimité périodique. Le développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et non périodique. Les nombres réels... Des entiers aux décimaux... Continuité et RUPTURES. 10000 Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. n . Exemple : 123 827 = 1×105 + 2×104 + 3×10… × La période du développement décimal ne commence pas toujours juste après la virgule : Il faut maintenant distinguer deux cas : Cette construction d'un développement illimité permet de retrouver le développement propre d'un décimal 3,5670000…, ou d'un rationnel 3,25743743743… . On appelle alors développement décimal illimité la suite (an) et on remarquera que. 0 4. L'application qui à la même suite {\displaystyle {\frac {1267}{625}}={\frac {1267\times 16}{10000}}={\frac {2\times 10^{4}+2\times 10^{2}+7\times 10^{1}+2\times 10^{0}}{10^{4}}}}, Et on vérifie très simplement à l'aide d'une calculatrice que En tant que limite de séries . est maintenant injective. 1 1 Un nombre décimal positif possède alors un développement décimal limité comportant des puissances de dix à exposant négatif mais le plus petit exposant ne peut être que - n. Exemple : ] Exemple : 3,25723723723... = x 100x = 325,723723723... 100x - 325 = y = 0,723723723... On peut remarquer que, si y est rationnel, x le sera aussi. Ce sont tous les nombres rationnels + ceux qui ne peuvent s'écrire sous forme du quotient de deux entiers ; on les appelle nombres irrationnels . Un nombre décimal infini non périodique est un nombre dans lequel il y a une infinité de chiffres après la virgule et oil il n'y a pas de répétition. 7 ∗ d 857142 100n−n = 36,¯¯¯¯¯¯36−0,¯¯¯¯¯¯36 (La partie décimale s'annule.) Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la base dix. 2,027 Un nom re déimal périodique, dans le as où il n’y aurait au une des onditions antérieures. 2 N Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme → En fait la base dix présente surtout un intérêt pratique, c'est celle à laquelle nous sommes habitués. ∞ {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}10^{-k}} n Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10 n où n est le nombre de chiffres après la virgule : On démontre facilement que un et un+1 ne diffèrent (éventuellement) que sur la n+1e décimale qui est de 0 pour un et de an+1 pour un+1. ) {\displaystyle {\frac {1267}{625}}=2{,}0272}. Il s’agit donc des nombres rationnels dont le développement décimal n’a pas comme période 0 ou 9. 10 10 Un nombre réel x est un nombre décimal si et seulement si il existe un entier naturel n tel que 10n×x soit un entier relatif. On a été amené à créer de nouveaux symboles pour les représenter, les plus connus sont π et √ sont irrationnels : π ; √2 ; √7 leur écriture décimale comporte un développement décimal illimité et non périodique. {\displaystyle \epsilon _{n}} 1 Idée de la démonstration. n 1 Ceux-ci sont suivis des chiffres de la partie décimale périodique, marqués par une barre au-dessus ou en dessous, voire par des crochets les encadrant. Plaçons nous maintenant en base 3. ] Il est aussi l'inverse, à savoir que chaque nombre rationnel est périodique, et chaque fraction peut être exprimée par un nombre décimal périodique. D'autres problèmes pour d'autres nombres … Mesurer la longueur d'un cercle de diamètre 1. ) Elle n'est pas surjective : son image est l'ensemble de Cantor. Le cycle 857142 s'appelle la période du développement décimal illimité périodique. une partie décimale non périodique, une partie décimale périodique. 0 (remarquez que le point décimal est placé immédiatement devant une période et que les deux nombres ont des parties décimales identiques) d'où. Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de décimales (en excluant une infinité de 9 que l'on remplace par l'unité suivante) Exemples 1,25 ou 3,0199999...=3,02 Un nombre rationnel est un nombre qui peut se mettre sous la forme m/n où m et n sont des entiers Exemples 2/3, 2007/3025 La résolution de l'équation précédente mène donc à y = 1. × Chaque fraction commune a un nombre fini de nombres dans sa partie décimale ou une quantité infinie périodique, tandis qu'un nombre décimal peut avoir un nombre … On aura ainsi la somme infinie qui commence par: , Si la longueur de la période est paire L = 2k: Théorème de Midy (complet) Soit n et p deux nombres entiers positifs, avec p > 1, PGCD(p, 10) = 1, PGCD(p, n) = 1 et 0 < n < p. Soit x x x le nombre considéré ; Soit a a a sa partie non périodique : c’est un décimal donc un rationnel ; Soit b b b la période, k k k sa longueur et 1 0 − n 10^{-n} 1 0 … Le développement décimal de tout nombre irrationnel, en particulier de la racine carrée de 2, est illimité et non périodique. Réciproquement, tout développement décimal illimité périodique correspond à l'écriture d'un rationnel. On a donc 0,¯¯¯¯¯¯36 = 4 11 0, 36 ¯ = 4 11. On parle de développement décimal illimité. = {\displaystyle \mathbb {R} } Des études portant sur la fréquence des entiers dans les développements décimaux de 1 2 Développement décimal d’un réel 1) Les nombres décimaux Définition 1. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». = On démontre aussi que (un) et (vn) sont des suites adjacentes encadrant x, donc elles convergent vers x. 1 {\displaystyle {\frac {13}{7}}=1{,}{\underline {857142}}\dots } Un nombre décimal possède aussi un développement décimal illimité de période 0. 99n = 36 ⇒ n= 36 99 n= 4 11 99 n = 36 ⇒ n = 36 99 n = 4 11. Ce nombre (n/p) a un développement décimal périodique. Elle n'est pas bijective, puisque précisément les rationnels dyadiques, c’est-à-dire ceux de la forme … Les chiffres de la partie entière sont placés classiquement à gauche de la virgule, qui est suivie par les chiffres de la partie décimale non périodique. 857142 {\displaystyle U_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{-k}} = est convergente dans R vers un réel On donne un nombre qui a un développement décimal illimité périodique. = : Lecture de la première formule: la somme, depuis k égal un et jusqu'à k tendant vers l'infini, de la fraction un sur onze à la puissance k est égale à un dixième, soit zéro virgule un. ] 4. k , admettent deux développements. Un nombre décimal possède aussi un développement décimal illimité de période 0. 10 Keywords En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent. n L'application R 1 0 N Réciproquement, tout développement décimal illimité périodique correspond à l'écriture d'un rationnel. + Aborder l'écriture décimale de la plupart des nombres rationnels nous fait entrer dans le monde de l'infini car l'écriture ne s'arrête jamais. dans le carré [ On écrira Exemple : 123 827 = 1×105 + 2×104 + 3×103 + 8×102 + 2×101 + 7×100. × [ 0 Chaque fraction commune a un nombre fini de nombres dans sa partie décimale ou une quantité infinie périodique, tandis qu'un nombre décimal peut avoir un nombre infini non périodique de nombres dans sa partie décimale. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\epsilon _{n}}{2^{n}}}} 4 Réciproquement : tout nombre possédant un développement décimal limité est un nombre décimal car il suffit de le multiplier par la puissance de dix adéquate pour retomber sur un entier. 625 Un nombre décimal possède aussi un développement décimal illimité de période 0. k Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel. Idée de la démonstration. ∑ Les bases 2 et 3 notamment sont très intéressantes. + 2. Soit x un nombre réel. 1 10 qui associe à une suite Le développement décimal de tout nombre irrationnel, en particulier de la racine carrée de 2, est illimité et non périodique. la partie décimale non périodique, ici 5, soit 1 chiffre non périodique; la partie décimale périodique, ici 673, soit 3 chiffres périodiques; on peut formuler une règle générale le dénominateur 9990 est formé d'autant de 9 que de chiffres périodiques, suivis d'autant de 0 que de chiffres non périodiques; 83 (voir Courbe de Peano). ( Un nombre est décimal : s’il peut s’é rire sous la forme de fration décimale ... Leur partie décimale est illimitée et non périodique. Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. 99 n = 36. 10 la partie décimale non périodique, ici 5, soit 1 chiffre non périodique; la partie décimale périodique, ici 673, soit 3 chiffres périodiques; le dénominateur 9990 est formé d'autant de 9 que de chiffres périodiques, suivis d'autant de 0 que de chiffres non périodiques; le numérateur est la différence entre deux nombres formés comme suit: les chiffres jusqu'à la fin de la première période, ici 45673; les chiffres jusqu'avant la première période, ici 45. Il n’est pas rare de trouver des nombres qui ont des chiffres non périodiques avant les décimales répétitives. Comment calculer la racine d"un nombre décimal périodique ? Cette fois, les nombres admettant deux développements seront ceux de la forme k { Lorsqu'un nombre admet une écriture décimale constituée d'un nombre fini de chiffres, on dit que le nombre est un nombre décimal Exemples : Les nombres 145.2 et 9.6532 sont des nombres décimaux non entiers tandis que 154 est un nombre décimal entier Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q. Les restes de la division sont en nombre fini (0, 1, ..., Q - 1), donc on ne peut pas prolonger indéfiniment la division sans rencontrer deux restes identiques. On utilise une série géométrique pour trouver le nombre rationnel qui lui est égal. 1 possède donc deux « développements décimaux illimités » périodiques : 1,000000… et 0,9999…. Définitions de Développement décimal périodique de l’inverse d’un nombre premier, synonymes, antonymes, dérivés de Développement décimal périodique de l’inverse d’un nombre premier, dictionnaire analogique de Développement décimal périodique de l’inverse d’un nombre premier (français) Si on appelle r1 et r'1 les deux premiers restes identiques, on voit que la division de 10r1 par Q sera identique à celle de 10r'1 par Q, et donnera le même quotient q1 = q'1 et même reste r2 = r'2 et ainsi de suite. Idée de la démonstration. On peut tirer de cette représentation des choses curieuses, par exemple une surjection continue du segment Les décimales de ce bloc de chiffres … Comment une somme infinie () produit un nombre décimal ou un nombre périodique.Exemples. n ∑ Un nombre décimal, c'est-à-dire un nombre pouvant s'écrire sous la forme où N et n sont des entiers relatifs. 2 = , décimal - le quotient de deux nombres décimaux n’est pas toujours un nombre décimal : exemple :les deux nombres 10 35 10 25 et sont des nombres décimaux mais leur quotient vaut : 7 5 35 25 10 35 10 25 = =; or 7 n’est divible ni par 2, ni par 5(c’est un nombre premier) le quotient de 10 35 10 25 par n’est donc pas un nombre décimal. 1 n Puisque l'on obtient de nouveau le reste 6 (avant dernière ligne), en abaissant le 0, on se trouvera à diviser encore 60 par 7, à ré-obtenir pour quotient 8, pour reste 4, etc. Ce réel est la, Le réel dont le développement décimal est 0,110001000000000000000001…, c'est-à-dire la somme des puissances factorielles négatives de 10 (10, Le développement décimal est impossible dans un système positionnel. ] ou de π sont menées. ∞ NOMBRES PÉRIODIQUES. k [ {\displaystyle {\frac {N}{10^{n}}}} 10 Toutefois, il est aussi possible de faire ressortir la période en plaçant une barre au-dessus de celle-ci ou plus rarement en l'encadrant entre crochets []. 10 625 Si x est un nombre réel, on construit les suites de nombres décimaux suivantes : un s'appelle l'approximation décimale de x par défaut à 10-n et vn celle par excès. Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Un nombre décimal positif possède alors un développement décimal limité comportant des puissances de dix à exposant négatif mais le plus petit exposant ne peut être que - n. {\displaystyle {\frac {83}{70}}=1{,}1{\underline {857142}}\dots } Expression utilisée par abus pour désigner un nombre dont la notation décimale est périodique. n n k 99n = 36 100 n − n = 36, 36 ¯ − 0, 36 ¯ ( La partie décimale s'annule.) Plaçons nous en base 2. Le réel dont le développement décimal est 0,1234567891011121314151617… possède un développement décimal prévisible non périodique. On parle de développement décimal illimité. En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, que l'on dénote encore par , ¯ ou , ˙ ou , (), représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1.En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. nombre(La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».
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